В 1955 году окончил Школу-студию МХАТа, курс А.М. Карева.
С 1955 года по 1957 год — актёр МХАТ имени Горького.
В 1957-2012 годах — актёр театра «Современник».
С 1998 года, помимо работы в театре «Современник», — ведущий телевизионной передачи «Жди меня» на Первом канале.
В 2008 году вел передачу «Невероятные истории про жизнь».
В 2007 году была издана книга Игоря Кваши под названием «Точка возврата», в которой он подробно вспоминает о детстве и юности, о спектаклях и репетициях, о колоритном театральном быте, насыщая повествование яркими и точными деталями, в том числе и подлинными документами.
Работа на радио:
1970-1986 гг. — Цикл поэтических передач («Облако в штанах» В. Маяковского; «Двенадцать» А. Блока; многое из М. Ю. Лермонтова; А. С. Пушкина; Н. Некрасова; Г. Мопассана);
1987-1988 гг. — М.А. Булгаков «Белая гвардия, радиозапись романа;
1989-1990 гг. — Борис Пастернак «Доктор Живаго», радиозапись романа.
призы и награды
Лауреат Российской Национальной актерской премии «Фигаро» имени Андрея Миронова в номинации «За служение театральному Отечеству» (2012).
Орден «За заслуги перед Отечеством» III степени (30 марта 2006).
Орден Дружбы (22 ноября 1995).
Благодарность Президента Российской Федерации (25 января 2008).
В 2008 году присуждена театральная премия «Хрустальная Турандот» в номинации «За честь и достоинство» и Царскосельская Художественная премия «За легендарный путь в искусстве и искренность творческого
почерка».
Ушел из жизни 30 августа 2012 года.